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\title{材料力学期末复习}

\begin{document}

\begin{multicols}{3}
作者: Airocéan\footnote{airocean@mail.ustc.edu.cn, a@airocean.cn, airocean@foxmail.com}\footnote{http://airocean.cn}
\begin{align}
		&\sigma(x)=\cfrac{F_N(x)}{A(x)} \quad \sigma=E\varepsilon \notag\\
& \varepsilon=\cfrac{\Delta l}{l} \notag\\
&\Delta l = \cfrac{Fl}{EA} \leftarrow \mathrm d(\Delta l) = \cfrac{F\mathrm dl}{EA}\notag \\
&\varepsilon '=-\mu \varepsilon \notag \\
& \tau=\cfrac{F_s}{A} \le[\tau] \notag \\
& M=9549\cfrac{P|_{kW}}{n|_{r/min}} \notag
		\end{align}
	\begin{equation*}
\left\{
             \begin{array}{l}
            \tau=G\gamma \\
            \tau=G\rho \cfrac{\mathrm d \varphi}{\mathrm d x}\\
           M=GI_\rho\cfrac{\mathrm d \varphi}{\mathrm d x}\\
           \mathrm{Any}: \tau_\rho=\cfrac{M_\rho}{I_\rho}
           \\ \tau_{\rm max}=\cfrac{M}{W_t}
             \end{array}
\right.
\end{equation*}
\begin{align}
&I_\rho=\cfrac{\pi D^4}{32}(1-\alpha^4) \notag \\
& W_t=\cfrac{\pi D^3}{16}(1-\alpha^4) \notag \\
&\varphi =\cfrac{Ml}{GI_\rho} \notag \\
&S_z=\int_A y \mathrm d A 	\notag \\
& \bar{y}=\cfrac{S_z}{A}\rightarrow S_z=\bar{y}A \notag \\
&\left(y_c=\cfrac{\sum S_{z_i}}{\sum A_i}=\cfrac{\sum A_iy_{c_i}}{A}\right) \notag
	\end{align}
	\noindent 负面积，面积为负\\
	\noindent 对$y$惯性矩：
\begin{align}
&I_y=\int _Az^2\mathrm d A \notag \\
& I_\rho=I_z+I_y \notag
	\end{align}
圆截面 $I_z=I_y=\cfrac{1}{64}\pi (D^4-d^4)$\\
矩截面 $I_z=\cfrac{1}{12}bh^3$
（$z,\,h$垂直，对什么取矩，自然与它垂直得多）\\
惯性半径：
$$I_z=Ai_z^2\rightarrow i_z=\sqrt{\cfrac{I_z}{A}}$$
在坐标$(y,z)$处与惯性积
$$I_{yz}=\int_A yz \mathrm d A$$
（自然有一个轴为对称轴时，$I_{zy}=0$）
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{z}=I_{z_c}+a^{2} A \\
I_{y}=I_{y_c}+b^{2} A \\
I_{z y}=I_{z_c y_c}+a b A
\end{array}
\right.
\end{equation*}
自然有$y,\,y_c$之间相差他俩之间的距离，这里就是$b$，证明利用了静矩形为0，好证明\\
这里就是有利用了Descartes的坐标变换，硬推出来的结果：
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
I_{z_{1}}=\cfrac{I_{z}+I_{y}}{2}+\cfrac{I_{z}-I_{y}}{2} \cos 2 \alpha-I_{z y} \sin 2 \alpha \\
I_{y_{1}}=\cfrac{I_{z}+I_{y}}{2}-\cfrac{I_{z}-I_{y}}{2} \cos 2 \alpha+I_{z y} \sin 2 \alpha \\
I_{z_{1} y_{1}}=\cfrac{I_{z}-I_{y}}{2} \sin 2 \alpha+I_{z y} \cos 2 \alpha
\end{array}
\right.
\end{equation*}
当$\alpha=\alpha_0$，一个轴过形心，$I$有最大值最小值，此时$I_{z_0 y_0}=0\rightarrow \tan 2\alpha_0=\cfrac{-2I_{zy}}{I_z-I_y}$
\begin{equation}
I_{\mathop{\max}\limits_{\min} }=I_{\mathop{z_0}\limits_{y_0}}=\frac{I_{z}+I_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_{z}-I_{y}}{2}\right)^{2}+I_{z y}^{2}} \notag
\end{equation}
形心主惯性轴即主轴远点在形心上，本质上还是看$I_{\max},\,I_{\min}$，可以用二向应力中的图解法解决
一轴对称，过对称轴及垂直；二轴对称，就是；三轴对称，任意
左上右下，左顺右逆（凹）为正
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} Q(x)}{\mathrm{d} x}=q(x) \quad \frac{\mathrm{d} M(x)}{\mathrm{d} x}=Q(x)
\end{equation*}
具体证明过程老书P122，有高阶小量，剩下的全是数学问题，下面老书P140
\begin{align}
&\sigma=E\,\frac y\rho \notag \\
&  \frac{1}{\rho}=\frac{M}{E I_{z}} \notag \\
&  \sigma=E y \frac{M}{E I_{z}}=\frac{M y}{I_{z}} \notag \\
&  \sigma_{\max }=\frac{M}{I_{z} / y_{\max }}=\frac{M}{W_{z}} \notag
\end{align}
$E I_{z}$抗弯刚度或者抗弯截面系数，下面老书P147
\begin{equation}
\tau=\tau^{\prime}=\frac{F_{Q} S_{z}^{*}}{b I_{z}} \notag
\end{equation}
$S_z^*$表示截面上距中性轴为$y$的横线意外部分面积对于中性轴的静矩
\begin{align}
& v=f(x)\rightarrow \tan\theta=\cfrac{\mathrm dv}{\mathrm dx}\notag \\
&\cfrac{1}{\rho}=\left\lvert \cfrac{\mathrm d \theta}{\mathrm ds}\right\rvert \rightarrow \left\lvert \cfrac{\mathrm d \theta}{\mathrm ds}\right\rvert=\cfrac M{EI}\notag \\
&\left[\frac{v^{\prime \prime}(x)}{\left(1+\left[v^{\prime}(x)\right]^{2}\right)^{3 / 2}}=\pm \frac{M(x)}{E I}\right]\notag \\
&\frac{\mathrm d^{2} v}{\mathrm d x^{2}}=\frac{M(x)}{E I}\notag
\end{align}
梁在简单在和作用下的变形在老书P185，由于图不好画这里省略
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_{\alpha} =&\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}+\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \cos 2 \alpha\notag \\
&-\tau_{x y} \sin 2 \alpha \notag \\
\tau_{\alpha} =&\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2} \sin 2 \alpha+\tau_{x y} \cos 2 \alpha \notag
\end{aligned}
\end{equation}
与坐标转换的转轴公式类似；$\sigma(\tau)_\alpha$正负号同$\alpha(\tau)$，$\alpha$正负为右手定则，计算时代入正负号；同理，极值正应力即为主应力
\begin{equation}
\tan 2 \alpha_{0}=\frac{-2 \tau_{x y}}{\sigma_{x}-\sigma_{y}} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\sigma_{\mathop{\max}\limits_{\min} }=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\tan 2 \alpha_{1}=\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2 \tau_{x y}} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\tau_{\mathop{\max}\limits_{\min} }=\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}} \notag
\end{equation}
\begin{equation}
\tan 2 \alpha_{0} \tan 2 \alpha_{1}=-1 \rightarrow\alpha_{1}=\alpha_{0}+45^{\circ} \notag
\end{equation}
\begin{align}
&\left(\sigma_{\alpha}-\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{\alpha}^{2}\notag\\
&=\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}\notag\\
& O=\left(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},0\right) \notag\\
&R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{x y}^{2}}\notag 
\end{align}
\begin{equation}
\begin{array}{c}
\varepsilon_{x}=\cfrac{1}{E}\left[\sigma_{x}-\mu\left(\sigma_{y}+\sigma_{z}\right)\right] \notag \\
\varepsilon_{y}=\cfrac{1}{E}\left[\sigma_{y}-\mu\left(\sigma_{z}+\sigma_{x}\right)\right] \notag \\
\varepsilon_{z}=\cfrac{1}{E}\left[\sigma_{z}-\mu\left(\sigma_{x}+\sigma_{y}\right)\right] \notag \\
\gamma_{x y}=\cfrac{\tau_{x y}}{G} ~\gamma_{y z}=\cfrac{\tau_{y z}}{G} ~\gamma_{z x}=\cfrac{\tau_{z x}}{G}
\end{array}
\end{equation}
由于高阶小量
\begin{align}
&\Theta =\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3\notag\\
&\Theta=\cfrac{\sigma_{\rm m}}{K}\notag\\
&K=\cfrac{E}{3(1-2\mu)}\notag\\
&\sigma_{\rm m}=\cfrac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3} \notag
\end{align}
$K$体积弹性模量，$\sigma_{\rm m}$三个主应力平均值
\begin{align}
u=&\cfrac{1}{2} \sigma_{1} \varepsilon_{1}+\cfrac{1}{2} \sigma_{2} \varepsilon_{2}+\cfrac{1}{2} \sigma_{3} \varepsilon_{3} \notag \\
u=&\cfrac{1}{2 E}[\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+\sigma_{3}^{2} \notag\\
&-2 \mu(\sigma_{1} \sigma_{2}+\sigma_{3} \sigma_{2}+\sigma_{1} \sigma_{3})] \notag
\end{align}
$u$总应变能密度，$u_t$体积改变比能，$u_x$形状改变比能
\begin{align}
 u=&u_t+u_x \notag \\
 u_{t} =&\frac{1-2 \mu}{6 E}\left(\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma_{3}\right)^{2} \notag \\
 u_{x} =&\frac{1+\mu}{6 E}\left[\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)^{2} \right. \notag\\
 &\left.+\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}\right] \notag
\end{align}
四种强度理论，老书P241起\\
第一，最大拉应力，断裂
$$\sigma_1\le\frac{\sigma_b}n=\left[\sigma\right]$$
第二，最大伸长线应变，断裂
$$\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)\le\frac{\sigma_b}n=[\sigma]$$
第三，最大切应力，屈服
$$\sigma_1-\sigma_3\le\frac{\sigma_s}{n_s}=[\sigma]$$
第四，畸变能密度，屈服
$$
\sqrt{\frac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)^{2}+\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}\right]} $$
$$\leq \frac{\sigma_{s}}{n_{s}}=[\sigma]$$
脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；当最大主应力小于等于零时,使用第三或第四理论。塑性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论；其它应力状态时，使用第三或第四理论。简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用：$\tau_{\max}\le[\tau]$。破坏形式还与温度、变形速度等有关。无论塑脆，三拉相近，断裂，用最大拉应力；无论塑脆，三压相近，塑性，用第三第四。
\begin{equation}
\frac{y_{0}}{I_{z}} \sin \varphi+\frac{z_{0}}{I_{y}} \cos \varphi=0 \notag
\end{equation}
所以肯定过形心，下面肯定不过形心，看系数啊（这里第一个去掉角标0也是基本公式）
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\sigma=-\cfrac{F}{A}-\cfrac{M_{z} y_{0}}{I_{z}}-\cfrac{M_{y} z_{0}}{I_{y}}=0 \Rightarrow\\
\cfrac{F}{A}+\cfrac{F \cdot e_{y} \cdot y_{0}}{I_{z}}+\cfrac{F \cdot e_{z} \cdot z_{0}}{I_{y}}=0 \Rightarrow \\
1+\cfrac{e_{y} \cdot y_{0}}{i_{z}^{2}}+\cfrac{e_{z} \cdot z_{0}}{i_{y}^{2}}=0 \\
a_{y}=-i_{z}^{2} / e_{y} ; \quad a_{z}=-i_{y}^{2} / e_{z} \\
I_{z}=A \cdot i_{z}^{2} \\
I_{y}=A \cdot i_{y}^{2} \notag
\end{array}
\end{equation}
利用$\sigma_{\max/\min}得出$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\sigma_{1} &=\frac{\sigma}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\sigma^{2}+4 \tau^{2}} \\
\sigma_{2} &=0 \\
\sigma_{3} &=\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{\sigma^{2}+4 \tau^{2}} \notag
\end{aligned}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\sigma_{x d 3}=\sigma_{1}-\sigma_{3} \leq[\sigma] \\
\sigma_{x d 3}=\sqrt{\sigma^{2}+4 \tau^{2}}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{M_{w}}{W}\right)^{2}+4\left(\dfrac{M_{n}}{2 W}\right)^{2}} \\
=\cfrac{1}{W} \sqrt{M_{w}^{2}+M_{n}^{2}} \leq[\sigma] \notag
\end{array}
\end{equation}
$\sqrt{M_{w}^{2}+M_{n}^{2}}$第三强度理论计算弯矩
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\sigma_{x d 4}= \\
&\sqrt{\dfrac{1}{2}\left[\left(\sigma_{1}-\sigma_{2}\right)^{2}+\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right)^{2}+\left(\sigma_{3}-\sigma_{1}\right)^{2}\right]} \\
&\sigma_{x d 4} =\sqrt{\sigma^{2}+3 \tau^{2}} \leq[\sigma] \\
&\sigma_{x d 4} =\dfrac{1}{W} \sqrt{M_{w}^{2}+0.75 M_{n}^{2}} \leq[\sigma] \notag
\end{aligned}
\end{equation}
$\sqrt{M_{w}^{2}+0.75 M_{n}^{2}}$第四强度理论计算弯矩
$$W=\cfrac12F\delta$$
$F$广义力，$\delta$广义位移
\begin{equation}
F_{0} \Delta_{i}=\int_{l} \frac{M(x) \bar{M}(x)}{E I} \mathrm d x \notag
\end{equation}
$F_0=1$（图像瞬间解决理解问题，这里均指广义量）
\begin{align}%这里有可以去掉的地方
&\int_{l} M(x) \bar{M}(x)\mathrm d x=\int_{l} M(x) x \tan \alpha \mathrm d x \rightarrow \notag\\
&\tan \alpha \int_{l} M(x) x \mathrm d x=\tan \alpha \cdot \omega \cdot x_{C}=\omega \bar{M}_{C}\notag \\
&\Delta_{i}=\frac{\omega \bar{M}_{C}}{E I} \notag
\end{align}
$\omega$弯矩图面积，$\bar{M}_C$弯矩图的形心对应的$\bar{M}$图的高度\\
常用A一次，B二次开口上，C二次开口下
\begin{equation}
\begin{array}{lll}
A=b h / 2 & A=b h / 3 & A=2 b h / 3 \\
C=b / 3 & C=b / 4 & C=3 b / 8 \notag
\end{array}
\end{equation}
\begin{equation}
\delta_n=\dfrac{\partial U}{\partial P_n} \notag
\end{equation}
还是图像，自然知道只有当弹性系统为线性，即其位移与荷载成线性关系时，才能应用卡氏定理（在必要时求某点位移可以先设一个力算出解析式之后再用0代入，先偏导，后积分）
\begin{equation}
F_1\delta_{12}=F_2\delta_{21} \notag
\end{equation}
利用图像更好看出来，位移互等定理
\begin{equation}
\delta_{11}X_1+\Delta_{1\mathrm P}=\Delta_1 \notag
\end{equation}
力法正则方程，还是用图像知道原理，$\delta_{11}$单位力引起沿着$\mathrm X_1$的位移
动载荷这里看点例题就是了（但是需要看）。分别匀速直线运动、竖直冲击、水平冲击动载荷系数（角标j为静，d为动）
\begin{equation}
\begin{aligned}
K_{d} &=1+\frac ag \quad K_{d}=1+\sqrt{1+\frac{2 h}{\Delta_{j}}} \notag \\
K_{d} &=\sqrt{\frac{v^{2}}{g \Delta_{j}}} \quad \sigma_{d}=K_{d} \sigma_{j}\notag
\end{aligned}
\end{equation}
循环特征$r=\dfrac{\sigma_{\min}}{\sigma_{\max}}$\\
S-N强度曲线\\
临界载荷一般公式$P_{\rm cr}=\dfrac{n^2\pi^2 EI}{\mu l^2}$\\
临界应力$\sigma_{\rm cr}=\dfrac{\pi^2 E}{\lambda^2}$\\
柔度（长细比）$\lambda=\dfrac{\mu l}{i}$，$i=\sqrt{\dfrac {I}{A}}$\\
那么最小临界载荷必然是$P_{\rm cr}=\dfrac{\pi^2 EI_{\min}}{\mu l^2}$\\
一端自由，一端固定 : $\mu=2.0$
一端铰支，一端固定 : $\mu=0.7$
两端固定 : $\mu=0.5$
两端铰支 : $\mu=1.0$
大柔度杆（细长压杆）欧拉公式适用范围$\lambda\ge\lambda_p=\sqrt{\dfrac{\pi^2E}{\sigma_{\rm p}}}$，中柔度杆$\lambda_{\rm s}=\dfrac{a-\sigma_{\rm s}}{b}$有$\lambda_{\rm s}<\lambda<\lambda_{\rm p}$，$\sigma_{\rm s}<\sigma<\sigma_{\rm p}$，小柔度杆（粗短杆）$\sigma_{\rm cr}=\sigma{\rm s}$，$\sigma=\dfrac NA \le[\sigma]$，$\lambda\le\lambda_{\rm s}$，$\sigma\ge\sigma_{\rm s}$\\
直线形经验公式$\sigma_{\rm cr}=a-b\lambda$
然后就是那个欧拉公式图



\end{multicols}

\end{document}